Информационная система сопровождения деятельности федеральных инновационных площадок

Петерсон Л.Г., Седова Е.А. ОБ УЧЕБНИКАХ МАТЕМАТИКИ УМК "УЧУСЬ УЧИТЬСЯ" ДЛЯ 5-6 КЛАССОВ

2019

50 Математика в школе 6 / 2019
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
Общая информация
Учебники для 5–6 классов УМК «Учусь
учиться» издательства «БИНОМ. Лабора-
тория знаний» входят в утверждённый
Министерством просвещения федераль-
ный перечень учебников [1] и являются
частью непрерывного курса математики
«Учусь учиться» для дошкольников, на-
чальной и основной школы 1–9 (с 3 до
15 лет).
Курс математики имеет полное ме-
тодическое обеспечение: учебники – в
печатной и электронной формах, методи-
ческие рекомендации для учителей, про-
граммы и сценарии уроков, соответству-
ющие требованиям ФГОС, самостоятель-
ные и контрольные работы, эталоны «По-
строй свою математику», рабочие тетради,
электронный комплексный мониторинг
результатов обучения по предметным и
метапредметным результатам ФГОС.
Педагогический инструментарий УМК
«Учусь учиться» базируется на авторских
технологиях деятельностного метода обу-
чения, способствующих вовлечению уча-
щихся в самостоятельную математическую
деятельность1. Многолетняя апробация
показала, что в результате применения
нового метода обучения повышается мо-
тивация учащихся к изучению математи-
ки, формируются навыки, востребованные
в современной жизни (самоорганизация,
креативность, трудолюбие, умение рабо-
тать с текстом, коммуникативность и пр.),
качество математического образования.
О том, что они учились по системе Петер-
сон, заявили 56% победителей и призёров
Всероссийской олимпиады «Курчатов» и
75% ребят, вошедших в национальную
сборную России по математике [1].
ОБ УЧЕБНИКАХ МАТЕМАТИКИ УМК
«УЧУСЬ УЧИТЬСЯ» ДЛЯ 5–6 КЛАССОВ
Л.Г. Петерсон, д.п.н., профессор,
Институт системно-деятельностной педагогики
(Москва),
e-mail: info@sch2000.ru;
Е.А. Седова, к.п.н., МПГУ,
e-mail: elena-sedova@yandex.ru
L.G. Peterson, Dr Sci (Pedagogy), Professor,
Institute for System-Activity Pedagogy (Moscow),
e-mail: info@sch2000.ru;
E.A. Sedova, PhD (Pedagogy), MPSU,
e-mail: elena-sedova@yandex.ru
Ключевые слова: УМК «Учусь учиться», учебник
математики, содержание школьного математиче-
ского образования в 5–6 классах, тематическое
планирование, результаты обучения.
Keywords: training kit «Learning to learn», math
textbook, content of school mathematics education
in grades 5-6, thematic planning, learning
outcomes.
Аннотация: Из статьи читатели узнают об исто-
рии создания и особенностях учебников мате-
матики для 5–6 классов (авторы Г.В. Дорофеев,
Л.Г. Петерсон) УМК «Учусь учиться», которые вхо-
дят в утверждённый Министерством просвеще-
ния федеральный перечень учебников.
Abstract: From the paper, readers will learn about
the history of creation and the features of mathematics
textbooks for grades 5–6 (by G.V. Dorofeev,
L.G. Peterson) of the «Learning to Learn» training
kits, which are included in the federal list of textbooks
approved by the Ministry of Education. 

1 Подробнее с УМК «Учусь учиться» можно озна-
комиться в разделе «Учебная литература» сайта:
http://www.sch2000.ru/ и в авторской мастерской
Л.Г. Петерсон по ссылке: http://lbz.ru/metodist/
authors/matematika/6/

Методический семинар 51
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
Из истории создания УМК
«Учусь учиться»
Теоретической основой УМК «Учусь
учиться» является концепция непрерыв-
ного гуманитарного математического обра-
зования (Н.Я. Виленкин, Г.В. Дорофеев,
Л.Г. Петерсон) и дидактическая система
деятельностного метода (Л.Г. Петерсон).
Первоначальный вариант концепции
непрерывного математического образова-
ния на деятельностной основе разрабаты-
вался, начиная с 1975 года, на базе НИИ
Общей педагогической психологии АПН
СССР (директор В.В. Давыдов), апро-
бация проводилась на базе 91-й школы
г. Москвы (Н.Я. Виленкин – научный ру-
ководитель, Л.Г. Петерсон, В.Ф. Пуркина
и др.).
В 1994 году была создана Ассоциация
«Школа 2000…» (президент – Г.В. Доро-
феев, вице-президент – Л.Г. Петерсон) с
целью реализации в УМК по математи-
ке «Учусь учиться» концепции гуманита-
ризации математического образования
(Г.В. Дорофеев). Для ответа на вопрос «Как
обучать?» был создан на основе системно-
деятельностного подхода новый педагоги-
ческий инструментарий – дидактическая
система деятельностного метода обучения
(Л.Г. Петерсон), учебники по математике
нового поколения и сетевая система по-
вышения квалификации педагогов (Ин-
новационная методическая сеть «Учусь
учиться»).
За время работы Ассоциации «Школа
2000…» учебники математики для 5–6
классов прошли апробацию в 168 школах
из 58 регионов России. Учебники переве-
дены на украинский и казахский языки.
В 2003 году авторский коллектив получил
Премию Президента РФ в области обра-
зования за создание дидактической
системы деятельностного метода для
общеобразовательных учреждений и
ее реализацию в непрерывном мате-
матическом образовании (Указ № 1178
от 5 октября 2003 г.).
В настоящее время УМК «Учусь
учиться» активно развивается в рамках
работы НОУ ДПО «Институт системно-
деятельностной педагогики» (научный
руководитель – Л.Г. Петерсон). Началось
создание и апробация надпредметного
курса «Мир деятельности», который допол-
няет УМК по математике «Учусь учиться»,
придавая формированию у учащихся моти-
вации, навыков XXI-го века и повышению
на этой основе качества математического
образования системный и неслучайный
характер.
Особенности УМК «Учусь учиться»
Единая дидактическая, методическая
и содержательная концепция позволяет
реализовать преемственность ступеней
общего образования, прежде всего, за счёт
единства понятийного аппарата, подходов
к изложению предметного содержания,
преемственности содержания и методик,
что сводит к минимуму риск переучива-
ния, сопряжённого, как известно, со зна-
чительными усилиями со стороны и учи-
теля, и ученика.
Однако решающую роль здесь игра-
ет, с одной стороны, превращение уроков
математики в площадку для коммуника-
ции учащихся, их открытий, совместного
преодоления возникших затруднений и по-
бед, что делает изучение математики для
детей наполненным эмоциями и личност-
ными смыслами, а потому интересным
для них.
С другой стороны, важное значение
имеет возможность более гибкого распре-
деления во времени содержания изучае-
мого материала с учётом сенситивных
периодов развития детей. Опережающее
знакомство с простыми частными случая-
52 Математика в школе 6 / 2019
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
ми того или иного понятия заметно удли-
няет отрезок учебного времени, отводимо-
го учебным планом на его усвоение, что
существенно повышает эффективность
обучения каждого ребёнка, понимаемую
как приобретение учебных умений в со-
ответствии с требованиями образователь-
ного стандарта. Этим увеличивается ве-
роятность захвата момента, когда дети
к нему наиболее восприимчивы, и он им
становится или продолжает быть интерес-
ным.
Так, например, изучение на предмет-
ной основе дробных чисел, их сравнения,
сложения и вычитания отнесено к 4-му
классу, когда учащиеся с интересом от-
крывают новые правила действий с не-
обычными числами. К 5-му классу этот
интерес угасает, и освободившееся место
в курсе «Учусь учиться» занимает откры-
тие детьми логических правил, методов
работы с текстами, доказательства и опро-
вержения суждений, построение цепочек
умозаключений, вывод новых интересных
математических законов (например, свя-
занных с аликвотными дробями).
Аналогично к концу начальной школы
учащиеся, работающие по данной програм-
ме, прошли путь от самостоятельного вы-
вода правил решения простых уравнений
на все действия на основе графических
моделей до их «автоматизированного» ре-
шения (то есть на уровне автоматизиро-
ванного умственного действия) с коммен-
тированием, в ходе которого назывются
компоненты уравнения и выполняемые
действия. Это позволило учащимся к 5
классу научиться решать с комменирова-
нием составные уравнения, сводящиеся к
цепочке простых, например:
60 + (500 : х – 16) 􀂘 35 = 200.
Достигнутый уровень становится осно-
вой эффективного развития линии урав-
нений в 5–6 классах (решение уравне-
ний методами перебора, проб и ошибок,
«весов», переноса слагаемых и пр.), но
и для отработки действий с числами на
расширяющихся числовых множествах
(обыкновенные и десятичные дроби, от-
рицательные числа).
Таким образом, запланированное прод-
ление срока изучения каждого понятия
позволяет применять его в различных
ситуациях – от промежуточного этапа ре-
шения более сложной математической за-
дачи до решения проблем, возникающих
в реальной жизни. В этом случае можно
говорить также и о повышении осознанно-
сти и результативности обучения, то есть
о приобретении умений высшего порядка,
а именно умения применять полученные
знания, включая формирование матема-
тической грамотности.
Особенности содержания курса
математики для 5–6 классов
Логико-языковой контекст
Одной из основных особенностей курса
математики для 5–6 классов УМК «Учусь
учиться» является включение ряда вопро-
сов, необходимых для воспитания куль-
туры мышления и математической речи
школьников. Это относится, в первую
очередь, к логико-языковому контексту
курса: лейтмотивом обучения математи-
ке в 5–6 классах является перевод описа-
ния наблюдаемых количественных или
пространственных отношений с обычного
языка на язык формул и символов и овла-
дение логикой рассуждений на математи-
ческом языке, и именно в этой парадигме
разворачиваются все содержательные ли-
нии курса.
Значимость логико-языковой подго-
товки учащихся ни у кого не вызывает
сомнения, этот тезис общепризнан. Само
слово логика происходит от древнегрече-
Методический семинар 53
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
ского «logos» (слово) и относится к языку
и мышлению в их неразрывном единстве.
Но овладение логикой считается как бы
естественным следствием изучения мате-
матики. Попытки советской школы в 70-е
гг. прошлого века ввести в курс математи-
ки в явном виде некоторые понятия логи-
ки, такие как высказывания, следование,
равносильность и др., не имели успеха, так
как логические понятия не связывались в
сознании учащихся с другими разделами
курса и языком, которым они оперируют
в повседневной жизни, поэтому усваива-
лись формально [4, c. 71].
В курсе математики «Учусь учиться»
логико-языковые знания как бы «раство-
ряются» в общем содержании, пронизывая
изучение всех тем и всех разделов. Они
вводятся порционно, чаще всего на вне-
математическом материале, обобщающем
имеющийся у учащихся опыт, что повы-
шает интерес учащихся к этим разделам.
А после введения логико-языковые поня-
тия систематически вплетаются в решение
разнообразных заданий и доказательство
теорем, выполняя служебную роль.
В качестве примера приведём задание
из учебника 6 класса, которое предлагает-
ся с целью повторения содержания курса
5 класса.
6 класс, часть 1, № 167
Построй отрицания высказываний:
1) Число 1 – простое.
2) Сумма 38 􀂘 15 + 27 кратна 9.
3) Квадрат натурального числа может
быть меньше 1.
4) Все простые числа – нечётные.
5) Любое число отлично от своего ква-
драта.
Выполняя это задание, учащиеся акту-
ализируют понятия простых и составных
чисел, свойства делимости, признак дели-
мости на 9, понятия натурального числа,
квадрата числа, чётных и нечётных чисел.
Но делают они это в условиях «переноса»
знаний, применяя логические знания
о видах высказываний, их отрицании и
доказательстве, что, с одной стороны, по-
зволяет глубже освоить математическое
содержание, а с другой – включает в ра-
боту широкий арсенал логических средств,
требует от школьников размышления, рас-
суждения, логического обоснования.
Важной составляющей логической под-
готовки учащихся, свидетельством их чёт-
кого и организованного мышления явля-
ется грамотный математический язык.
Понимание синтаксиса математического
языка, логических связей между предло-
жениями распространяется и на естествен-
ный язык, и тем самым вносит весомый
вклад в развитие мышления школьников.
Поэтому многие недостатки в их матема-
тической подготовке связаны именно с не-
достаточностью языковой культуры.
Приведём пример. Известно, что у
учащихся довольно часто встречаются
ошибки, связанные с расширительным
толкованием термина математическое
выражение. По аналогии с фразеологи-
ческим выражением, которое может быть
как словосочетанием, так и полным пред-
ложением, дети (разного возраста) относят
к числовым выражениям, например, урав-
нения и неравенства: «Выражение в мате-
матике – это практически всё, с чем мы
собственно и имеем дело в математике.
Уравнения, дроби, примеры, формулы...»
(Источник: http://www.bolshoyvopros.ru/
questions/234004-chto-takoe-vyrazhenie-vmatematike-
i-znachenie-vyrazhenija.html).
Однако за этой внешне безобидной не-
точностью скрывается непонимание син-
таксиса математического языка.
В УМК «Учусь учиться» работа над ма-
тематическим языком проводится скру-
пулёзно и последовательно, и в качестве
иллюстрации мы покажем способ форми-
54 Математика в школе 6 / 2019
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
рования и дальнейшее развитие понятий
числовое и буквенное выражение.
Прежде всего отметим, что эти слово-
сочетания как математические термины
не являются абсолютно новыми для пя-
тиклассников – в начальных классах они
уже введены в активный словарный за-
пас, так что в 5 классе главная задача со-
стоит в уточнении их смысла.
Как известно, выражения представля-
ют собой конструкции из математических
символов, если можно так выразиться,
осмысленные символосочетания – ана-
логи словосочетаний в русском языке. С
другой стороны – это строительный мате-
риал для развития математического язы-
ка и построения высказываний, или пред-
ложений. Поэтому для уточнения смысла
понятия выражения вначале вводится
понятие математического алфавита,
включающего в себя цифры, буквы, скоб-
ки и знаки арифметических действий.
Математические выражения тракту-
ются как «слова» математического языка,
имеющие смысл [2, с. 84].
В составлении числовых выражений
участвуют только числа, знаки действий
и скобки, а буквенные выражения до-
полнительно включают числа обозначены
буквами. Теперь, зная, куда смотреть,
дети без труда «раскидают по разным
мешкам» различные символьные кон-
струкции:
● числовые выражения: 267, (38 + 422) 􀂘
26, 120 : 12;
● буквенные выражения: a – 5, b – (c – a),
(a + b) 􀂘 c, a 􀂘 2;
● не выражения: 1 + 2 = 3, a – 9 > 0,
(:(5–+)4.
Являясь привычным для ребёнка
«предметом» математической мысли, вы-
ражение обладает понятными и вполне
определёнными свойствами – это значе-
ние числового выражения и значение
буквенного выражения при данном
значении буквы.
Особое внимание в 5–6 классах уделя-
ется грамотному чтению и записи выра-
жений, переводу их с естественного (рус-
ского) языка на математический, и наобо-
рот, например:
На русском языке На математиче-
ском языке
Сумма всех двузнач-
ных чисел
10 + 11 + 12 +
+ 13 + … + 99
Произведение суммы
чисел с и a и разно-
сти чисел b и d
(с + a)(b – d)
Квадрат суммы чи-
сел а и b (a + b)2
Разность кубов чисел
m и n m3 – n3
Умение грамотно использовать матема-
тический язык в речи поможет учащимся
в дальнейшем при решении текстовых за-
дач, изучении формул сокращенного умно-
жения, многочленов и практически всех
разделов курса математики.
Перевод на математический язык
предложения: «Значение числового вы-
ражения… равно числу… (больше или
меньше числа…)» осуществляется с по-
мощью знаков равенства и неравенства,
и обычно у пятиклассников не вызывает
трудностей составление высказывания ви-
да: «сумма чисел 15 и 5 равна 50». Однако
для подготовки последующего шага – зна-
комства с высказываниями – учителю
целесообразно вести работу параллельно
в двух направлениях:
● для понимания структуры высказыва-
ния хорошо задавать уточняющие во-
просы: о чём идёт речь (о сумме двух
чисел); что нового мы узнали об этом
предмете (нашли значение суммы);
Методический семинар 55
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
● для выделения высказываний из мно-
жества всех предложений проводится
подготовительная работа по установле-
нию истинности привычных высказы-
ваний, например, нахождение приме-
ров, решённых правильно или непра-
вильно, с последующей констатацией:
«это утверждение верно / неверно».
Таким образом дети постепенно прихо-
дят к мысли о том, что каждая решённая
ими математическая задача в конечном
счёте представляет собой некоторое мате-
матическое высказывание, относительно
которого учитель или учительница дают
своё заключение: это верно, либо это –
неверно. Вторая мысль – о том, что здесь
«верно» означает не «верю», а «можно ве-
рифицировать, то есть проверить или до-
казать».
Из учебника дети узнают о том, что
разбор математических предложений, в
отличие от предложений русского языка,
обычно проводят по упрощённой схеме –
математики не принимают во внимание
несущественные признаки предметов, а
ограничиваются выделением некоторого
предмета и того, что о нём сообщается.
Например, о сумме чисел 1 + 2 можно со-
общить, что она: равна трём, равна четы-
рём, больше нуля, меньше нуля, делится
на 3, не делится на 3, является простым
числом и прочее, и прочее. При этом неко-
торые полученные утверждения окажут-
ся истинными, а другие – ложными. Так у
детей накапливается опыт анализа струк-
туры высказывания – выделения предме-
та размышления (темы) и результата
мыслительной деятельности (ремы) – и
установления его истинности. Вместе с
тем у них формируется запас примеров
предложений, не являющихся высказы-
ваниями. Например, в предложениях
● «Найди значение числового выраже-
ния»;
● «Сколько советов дал первый брат?»
● «Если в числовом выражении провести
указанные в нём действия, то получит-
ся некоторое число, которое называется
значением выражения»
содержится тема (в первом – числовое
выражение; во втором – советы, которые
дал первый брат; в третьем – о договорён-
ности называть значением числового вы-
ражения число, полученное в результате
выполнения всех действий в этом выра-
жении), но не содержится рема (то есть
ничего дополнительно не сообщается ни
о числовом выражении в первом, ни о со-
ветах во втором, ни об имеющейся дого-
ворённости в третьем случае), так что не
имеет смысла обсуждать их истинность.
Таким образом, учащиеся осознают, что в
выражениях есть тема, но нет ремы, по-
этому они не могут быть истинными или
ложными, в отличие от уравнений и не-
равенств, где имеется и тема, и рема.
Далее в рассмотрение вводятся полные
математические предложения с перемен-
ными, усложняется структура математи-
ческих предложений за счёт использова-
ния логических связок, и постепенно дети
готовятся к «пониманию математики» –
осознанному восприятию аксиом, опреде-
лений, теорем и математических теорий
в целом.
Математическое моделирование
Одним из ключевых видов математи-
ческой деятельности, обучение которой
определено как ведущая цель матема-
тического образования (ФГОС), является
математическое моделирование.
Математическое моделирование как
важнейшее средство познания природы
и проектирования разнообразных систем
включает в себя три этапа: 1) построение
модели; 2) работу с моделью; 3) практи-
ческий вывод из модели и его анализ.
56 Математика в школе 6 / 2019
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
Очевидно, что при изучении математики
в школе учащиеся должны не только про-
ходить все эти этапы, но и осознать их в
явном виде, а затем систематически при-
менять на практике.
Тем не менее в школе, как правило,
обучение начинается сразу со второго
этапа. Математические модели (понятия,
различные виды уравнений и неравенств
и пр.) вводятся в готовом виде: учитель
рассказывает о них учащимся для того,
чтобы те их поняли, запомнили и научи-
лись применять.
Однако в нашу цифровую эпоху, когда
существуют поисковые системы и програм-
мы, способные по тексту любой школьной
задачи выдать ее готовое решение (напри-
мер, программа PhotoMath), большинство
учащихся не видят смысла в таком усво-
ении. Не случайно проблема мотивации
школьников выделяется как наиболее
значимая в «Концепции развития мате-
матического образования в Российской
Федерации».
В курсе математики «Учусь учиться»
прохождение первого этапа математиче-
ского моделирования обеспечивается, на-
чиная с самых первых лет обучения на
основе авторской технологии деятельност-
ного метода [3; с. 28–57], предусматриваю-
щей самостоятельное построение учащими-
ся под руководством учителя любой вводи-
мой математической модели.
В 5–6 классах на основе накопленного
опыта этапы математического моделиро-
вания фиксируются в явном виде, при
этом особое внимание уделяется именно
первому этапу построения математиче-
ской модели. Детям предлагается прово-
дить перевод ситуаций, описанных в за-
дачах, на математический язык на рас-
ширенном поле математических объектов,
которые возникают не только при их не-
посредственном изучении, но также и за-
долго до своего места в учебном плане.
Такой подход направлен на снятие
страха и неуверенности учащихся при
работе с нестандартными текстами за-
дач, формированию у них умения выде-
лять существенное, устанавливать взаи-
мосвязи между объектами и явлениями,
«перевести» любой предлагаемый текст
задачи на язык схем, выражений, урав-
нений, неравенств и их систем. Вместе с
тем происходит опережающее накопление
опыта решения определённого класса за-
дач для последующего их переосмысле-
ния, выявление таких эффектов, из-за
которых уже известные методы перестают
работать и заменяются новыми, более со-
вершенными, формирование у учащихся
потребности в поиске общих способов ре-
шения новых типов задач.
Например, изучение квадратных урав-
нений с одной переменной не входит в про-
грамму 5–6 классов. Однако многочлены
второй степени, если называть математи-
ческие конструкции своими терминами,
сопровождают математическое развитие
детей с первой страницы учебника для
5-го класса. «Облик» уравнения второй
степени с одной переменной возникает в
результате перевода на математический
язык текста нестандартной для учащихся
задачи на использование уже известной
им формулы площади прямоугольника
[5, с. 24]:
Одна сторона прямоугольного участ-
ка земли на 3 м больше другой его сто-
роны. Площадь участка равна 70 м2.
Найти размеры этого участка.
На предыдущих этапах обучения при
решении подобных задач учащимся всег-
да была известна одна из сторон. Здесь
– новый для них шаг: они должны дога-
даться, что для построения математиче-
ской модели достаточно одну из сторон
(лучше меньшую) обозначить за х, и тогда
Методический семинар 57
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
по формуле площади прямоугольника мы
приходим к модели:
x (x + 3) = 70.
С высоты учительского образования
видно, что свободный член соответствую-
щего квадратного трёхчлена отрицатель-
ный, то есть его корни имеют разные зна-
ки, а значит, для пятиклассников взятое
уравнение имеет не более одного корня. В
данном случае – один корень, который не-
сложно подобрать: x = 7. Поэтому на эта-
пе работы с моделью появляется возмож-
ность познакомить учащихся с методом
работы, который позволяет найти ответ
даже в случае, когда модель представляет
собой новый, ещё не изученный объект – а
именно, методом проб и ошибок. Суть
его заключается в том, что решение под-
бирается путём проб, а затем проводится
обоснование того, что найдены все возмож-
ные решения и ни одно не пропущено. В
данном случае учащиеся приходят к сле-
дующему доказательному рассуждению,
объясняющему, почему в области поло-
жительных чисел равенство x(x + 3) = 70
верно только для одного числа x = 7: «если
значение x больше 7, то x + 3 будет больше
10, и тогда произведение x(x + 3) окажется
больше 70. Аналогично, если значение x
меньше 7, то произведение x(x + 3) мень-
ше 70» [там же, с. 42].
Затем учащиеся знакомятся со случая-
ми, когда для упрощения работы с мате-
матическими моделями удобно ввести не
одну, а несколько переменных и получить
систему двух уравнений с двумя пе-
ременными [там же, с. 46], а затем со
случаями, когда при работе с математи-
ческими моделями метода проб и ошибок
оказывается недостаточно, и учащиеся
приходят к методу полного перебо-
ра. Например, угаданное решение x = 7,
y = 3, при котором выполняется равенство
10x + y = xy + 52, не является единствен-
ным, и полный перебор возможностей
помогает найти ещё одно решение: x = 8,
y = 4 [там же, с. 47].
Привычка к тщательной работе с тек-
стом, использованию метода полного пе-
ребора является своего рода защитой от
верхоглядства, которое, к сожалению, не-
редко проявляется у детей, что приводит
их к обидным ошибкам и потере интереса
к математике. Но главное, что приобретя
в свой арсенал методы работы с моделями
в ситуации, когда способы работы не из-
вестны, при решении любой задачи они
больше не могут сказать «мы этого не про-
ходили». А сравнивая эти новые методы
с методами решения по известному алго-
ритму, учащиеся вполне могут оценить
разницу трудозатрат, что является для
них мощным «мотиватором» к изучению
любого нового математического знания.
Исторический контекст
Методический подход, выбранный в
УМК «Учусь учиться» при знакомстве
школьников с историей математики, под-
держивает новацию действующих обра-
зовательных стандартов (ФГОС), касаю-
щуюся разделения учебного процесса на
так называемые урочную и внеурочную
деятельность. При этом отнесение к уроч-
ной деятельности кратких сведений спра-
вочного характера может служить своего
рода программой организации внеуроч-
ной работы: как воспитательных меро-
приятий (бесед и инсценировок по следам
историко-математических событий), так
и математических кружков и соревнова-
ний, развивающих кругозор учащихся и
открывающих простор для их творческой
активности.
Рассмотрим, например, как в учебни-
ке для 5 класса представлена задача,
носящая название «задачи Пуассона»
[там же, с. 35]:
58 Математика в школе 6 / 2019
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
141. Задача, которую в юности решил
знаменитый французский физик и ма-
тематик Симеон-Дени Пуассон (1781–
1840 гг.).
Некто имеет 12 пинт мёда и хочет
отлить из этого количества полови-
ну, но у него нет сосуда вместимостью
в 6 пинт. У него имеется 2 сосуда:
один вместимостью в 8 пинт, а дру-
гой вместимостью в 5 пинт. Каким
образом налить 6 пинт меда в сосуд
на 8 пинт?
В этом месте школьного курса мате-
матики это – задача на смекалку. Её на-
значение – показать, что, решая сложные
математические задачи, можно открыть в
себе призвание, что, собственно, и произо-
шло с великим математиком Пуассоном, а
в такой постановке содержится даже не-
который вызов: «А вы сумеете решить эту
задачу?»
С точки зрения математического со-
держания эта задача многоплановая.
Разумеется, для пятиклассников в каче-
стве способа рассуждения используется
«смекалка», а в качестве математической
модели – таблицы (см. табл. 1).
Р е ш е н и е 1
12 12 4 4 9 9 1 1 6
8 0 8 3 3 0 8 6 6
5 0 0 5 0 3 3 5 0
Р е ш е н и е 2
12 12 7 0 0 8 8 3 3 11 11 6 6
8 0 0 7 8 0 4 4 8 0 1 1 6
5 0 5 5 4 4 0 5 1 1 0 5 0
Однако, как показывает опыт, пяти-
классникам интересно и доступно реше-
ние с использованием графов, описанное
в книге Перельман Я.И. «Занимательная
геометрия». Его преимущество перед «сме-
калкой» очевидно – это своеобразная счёт-
ная машина, с помощью которой можно
решить все задачи на переливание.
Еще один возможный вариант матема-
тической интерпретации задачи Пуассо-
на – нахождение числовых значений для
переменных x и y, чтобы значение выра-
жения 8x + 5y оказалось равно числу 6,
что в переводе на язык формул означает
уравнение с двумя неизвестными:
8x + 5y = 6,
где x, y 􀂏 Z.
Это уравнение имеет бесконечно мно-
го решений (соответствующих способам
переливаний), которые описываются фор-
мулами вида:
x = 2 – 5k, y = –2 + 8k (k, m 􀂏 Z).
С теоретическими подробностями та-
кого решения задач на переливание
можно ознакомиться, например, в книге
[7; с. 57]. Кстати, эта математическая мо-
дель позволяет тиражировать задачи,
чтобы обеспечить запросы детей, если
они захотят сделать «вторую попытку».
Далее, в развитие этого сюжета можно
выйти на красивые математические тео-
рии, связанные с теорией чисел (алго-
ритм Евклида, диофантовы уравнения),
и это материал для работы с теми деть-
ми, которых, как говорится, «зацепила»
красота математики.
Что касается заданий исследователь-
ского характера, то детям предлагается,
как вариант, выполнение информацион-
ного проекта [6; с. 173].
778. Подготовьте информационный
проект (презентацию, ролик, задачник и
др.) по одной из следующих тем: «Возник-
новение математики как науки, этапы её
развития»; «Выдающиеся математики и
их вклад в развитие науки»; «Математи-
ка в развитии России». Вы можете под-
готовить рассказ о каком-нибудь выдаю-
щемся математике: Н.И. Лобачевском,
П.Л. Чебышеве, С.В. Ковалевской, А.Н. Кол-
могорове, или изучить другую интересную
вам тему из истории математики2.
Это, однако, не означает, что проект де-
Методический семинар 59
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
лается «в последний день». Если учитель
спланирует соответствующую работу, ис-
пользуя потенциал внеурочной деятель-
ности, то к моменту, когда дети получат
это задание, работа над проектом может
подходить к завершению. За исходными
материалами, как и указано в задании,
можно обратиться по указанной в зада-
нии ссылке в раздел «Дополнительные
материалы к учебнику 6 класса / Архив
материалов по истории математики». Там
представлены следующие темы: Появле-
ние цифр, букв, иероглифов на Ближнем
Востоке: Рождение шестидесятеричной
системы счисления; Появление десятич-
ной записи чисел; Рождение и развитие
арифметики натуральных чисел; НОД,
НОК, простые числа; Решето Эратосфена;
Появление нуля; Появление отрицатель-
ных чисел в математике древности; Роль
Диофанта; Почему (–1) 􀂘 (–1) = +1?; Дро-
би в древнем Вавилоне; Дроби в Древнем
Египте; Дроби в Древнем Риме; Открытие
десятичных дробей; Десятичные дроби и
метрическая система мер; Старинные си-
стемы мер.
Однако следует учесть, что это не гото-
вые доклады, а только примерное содер-
жание и список литературы, на которые в
случае необходимости учитель может ори-
ентировать учащихся. Для выполнения
собственного историко-математического
исследования дети должны познакомиться
с правилами реферирования и цитирова-
ния, так что в качестве мини-исследования
может быть предложена работа по струк-
турированию исходных текстов – составле-
нию плана рукописи, выделению тезисов
и подтверждению ссылками на книги или
интернет-ресурсы. По желанию учащихся
можно создать специальную страничку на
сайте школы, где по каждой теме готовить
текстовые или мультимедийные проек-
ты, проводить историко-математические
конкурсы и пр., что станет для учащихся
индивидуальным личностно значимым
событием.
Общекультурный контекст
В плане культурного развития в учеб-
ники для 5–6 классов включены раз-
нообразные ребусы и задания для мини-
состязаний и викторин. Детям предлага-
ется, например, выяснить самостоятельно,
кто придумал эту игру и как образовано
её название (информацию можно найти,
например, по ссылке в Википедии (https://
ru.wikipedia.org/wiki/Викторина). Отвечая
на вопросы викторин из учебника мате-
матики, дети узнают интересные факты,
знакомятся с героями литературных про-
изведений и прочее, и прочее.
Например, в задании 713 из учебни-
ка для 5 класса, часть 1, выбрав из за-
данного множества чисел неправильные
дроби, упорядочив их по возрастанию и
сопоставив с буквами, дети получают имя
божества, оказывавшего помощь Одиссею
во время его путешествия.
Применение викторин оправдано тем,
что соревновательный дух заставляет де-
тей выполнять задания в быстром темпе,
так что при регулярном использовании
этого приёма работы отрабатывается бе-
глость важнейших навыков без принуж-
дения со стороны учителя.
Контроль результатов обучения
Методическое обеспечение курса вклю-
чает контроль знаний, но, как любое тра-
диционное пособие, оно составлено на
основе экспертной оценки и рассчитано на
усреднённого ученика, так что заданный
темп для кого-то может оказаться слиш-
2 Дополнительные материалы по истории матема-
тики вы найдёте по адресу http://metodist.lbz.ru/
authors/matematika/6.
60 Математика в школе 6 / 2019
Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.
ком высоким, а для кого-то недостаточным.
Благодаря использованию в УМК «Учусь
учиться» системы дидактических прин-
ципов деятельностного метода [6; с. 35],
учебники являются разноуровневыми, по-
зволяя учащимся продвигаться вперёд по
индивидуальной образовательной траекто-
рии. В связи с этим следует остановиться
на вопросах подгонки системы контроля
знаний под особенности учащихся.
Прежде всего важно различать «про-
веряемые» и «пропедевтические» умения:
как было упомянуто выше, каждое мате-
матическое понятие проходит определён-
ную последовательность перевоплощений
– от контекстного понимания смысла сло-
ва до беглого применения в новой ситуа-
ции. Для ориентира в учебники включе-
на рубрика «Задачи для самопроверки» с
прототипами заданий для контрольных
работ, завершающих каждый параграф,
за исключением тех, которые на данной
ступени обучения носит пропедевтиче-
ский характер. С помощью этой рубрики
дети самостоятельно могут оценить свои
успехи, а учитель – регулировать напол-
нение контрольной работы с учётом воз-
можностей детей в конкретном классе.
Как правило, задание начинает вклю-
чаться в контрольные работы, когда рас-
чётная успешность его выполнения состав-
ляет примерно 70%, так как более ранняя
проверка сопряжена с большим количе-
ством огорчений, а более поздняя – с за-
медленным темпом продвижения и поте-
рей «эффекта новизны», необходимого для
поддержания познавательного интереса в
области изучаемой науки. На этот показа-
тель и надо ориентироваться при выстраи-
вании очереди контрольных работ.
Поскольку каждая рубрика «Задачи
для самопроверки» включает как текущий
материал, так и задачи на повторение, то
имеется возможность устанавливать не-
сколько сниженный индивидуальный темп
обучения для отдельных учеников или для
целого класса, включая в контрольные ра-
боты только тот материал, который усвоен
в достаточной мере, и продолжая отработ-
ку остального в штатном режиме, с тем,
чтобы к концу года все дети смогли выйти
на уровень требований ФГОС.
Повышенные потребности в математи-
ческой деятельности могут быть обеспе-
чены за счёт решения многочисленных
более сложных задач и задач на смекал-
ку, которые выделены в тексте учебников
специальными значками и также могут
быть включены в содержание контроль-
ных работ и в систему олимпиадной под-
готовки.
Литература
1. https://www.sch2000.ru/about/
achievement/.
2. Миракова Т.Н. Школьная математики
и логическое развитие учащихся: проблемы и
решения / В сб. «Школа 2000...» Концепции.
Программы. Технологии. Под. ред. А.А. Ле-
онтьева. – М.: Баласс, 1998. 112 с.
3. Дорофеев Г.В. Математика для каждо-
го. Предисловие Кудрявцева Л.Д. – М.: Аякс,
1999. 292 с.
4. Петерсон Л.Г. Деятельностный метод
обучения: образовательная система «Шко-
ла 2000...» / [Л.Г. Петерсон, Л.А. Аверкиева,
Л.А. Грушевская, М.А. Кубышева и др.]. М.: АПК
и ППРО, УМЦ «Школа 2000...», 2007. 448 с.
5. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Матема-
тика: 5 класс: В 2 ч. Ч. 1. – М.: Ювента, 2018.
176 с.
6. Шуберт Г. Математические развлече-
ния и игры. Одесса: Mathesis,1911. XIV+358 с.
[Электронный документ]. Режим доступа:
http://www.mathesis.ru/book/shubert. Дата об-
ращения: 26.04.2019.
7. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математи-
ка: 6 класс: В 3 ч. Ч. 3. – М.: Ювента, 2018. 176 с.