Информационная система сопровождения деятельности федеральных инновационных площадок

О СОДЕРЖАТЕЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В КРУЖКЕ ДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ

2017

В статье описывается программа и методические подходы пре-подавания математики старшеклассникам, проявляющим повышенный интерес к предмету.
Ключевые слова: методы решения задач высокого уровня слож-ности, математические олимпиады.
При организации совместного математического кружка для учащихся 10 и 11 классов возникает ряд проблем методического ха-рактера, связанных с отбором и последовательностью тем для занятий. Так, например, ближе к концу учебного года, одиннадцатиклассники весьма озадачены предстоящими выпускными экзаменами. В свою очередь для десятиклассников эта перспектива кажется очень отдален-ной. Вместе с тем, в настоящее время проводится немало различных олимпиад достаточно высокого уровня, при успешном выступлении на которых, можно реализовать свои желания учиться в соответствую-щем университете.
Занимаясь в учебном центре факультета математики и инфор-мационных технологий Алтайского государственного университета со старшеклассниками, мы ставим перед собой следующие главные цели: успешное выступление учащихся на математических соревнованиях (олимпиадах различного уровня, математических турнирах и т.д.), подготовку к выполнению заданий ЕГЭ высокого уровня сложности, удовлетворение математического любопытства учащихся, проявляю-щих интерес к математике. Этих целей можно достичь последователь-но и планомерно занимаясь в кружке, и невозможно достичь, исполь-зуя авральное обучение непосредственно перед испытаниями.
К сожалению, не всегда у нас есть возможность опираться на знания, которые уже должны быть у учащегося на подходе к старшимклассам обучения. Поэтому ряд ключевых, на наш взгляд, тем рас-сматриваются в кружке под разными углами зрения, а решение одной и той же задачи осуществляется различными способами.
Перечислим основные темы программы: алгебра и арифметика, логика и теория множеств, комбинаторика, математический анализ, геометрия, элементы теории вероятностей.
В процессе обучения рассматривается обширный спектр мето-дов решения задач. В частности: принцип Дирихле и принцип крайне-го, инварианты и полуинварианты, раскраски, метод математической индукции, методы решения задач с параметром, геометрические мето-ды (метод координат, векторный метод, геометрические интерпрета-ции, тригонометрия в геометрии), алгебраические методы (спуск, под-счет двумя способами) и другие.
Приведём в качестве примера рассматриваемые подходы к ре-шению одной из задач [1].
Задача (тема «Инвариант»). Написанное на доске четырехзнач-ное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из цифр не равна 9: либо, вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Мож-но ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?
Первое решение. Из последней цифры можно получить 2 только, прибавив к двум последним цифрам a раз по единице и вычтя из них a + 2 раза по единице. Эти операции уменьшают цифру, стоящую на третьем месте, на 2. Аналогично, операции, превращающие первую цифру в 2, увеличат вторую цифру на 1. Ясно, что порядок операций можно менять, если рассматривать четырехзначное число как четверку целых чисел (возможно отрицательных, либо превосходящих 9). Вы-полнив вначале операции, заменяющие 4 на 2 и 1 на 2, мы получим число 2312, которое операциями над двумя средними цифрами нельзя превратить в 2002.
Второе решение. Пусть на доске написано число abcd. Тогда рассматриваемые операции не изменяют число ()()Mdbac=+−+, так как они увеличивают (уменьшают) на единицу одно число из первой скобки, и одно число – из второй. Для числа 1234 имеем M = 2, для числа 2002 получается M = 0. Поэтому требуемое невозможно.
Третье решение. Заметим, что описанные операции не меняют остаток от деления числа на 11 (мы прибавляем либо вычитаем одно из чисел 1100, 110, 11). Но числа 1234 и 2002 имеют разные остатки от деления на 11.
Многие из перечисленных тем и методов представлены в посо-биях и разработках преподавателей центра, адресованных участникам этой совместной кружковой работы [1-4].
По сути, кружок для старшеклассников является двухгодичным. При этом, хотя некоторые темы и повторяются дважды в течение обу-чения, но ни одна задача дважды не повторяется.
Такой кружок действует уже более 10 лет, последние два года под крылом Алтайского государственного университета в рамках учебного центра. В большинстве случаев, учащиеся, пришедшие в кружок в 10 классе, остаются заниматься в нём и на следующий год. Более того, ребята продолжают общаться друг с другом и с преподавателями центра, будучи студентами вузов России.