РАЗРАБОТКА И ВНЕДРЕНИЕ МОДЕЛЕЙ АДРЕСНОЙ РАБОТЫ С ТАЛАНТЛИВЫМИ ШКОЛЬНИКАМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕСУРСОВ УНИВЕРСИТЕТА В РАМКАХ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ДЕТЕЙ
Организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Алтайский государственный университет"
Регион: Алтайский край
Уровень образования: Высшее образование
Цель: Поиск эффективных практик и решений в работе с талантливыми детьми на основе сетевой интеграции
Участники методической сети: 13
Клетчатая геометрия на занятиях математического кружка
2017
В работе обобщается опыт подготовки школьников к изучению курса геометрии на занятиях математического кружка в 6 классе. Геометрические понятия, идеи и важные конструкции иллюстрируются на плоскости, снабженной метрикой Минковского. При этом во многих случаях достаточно рассматривать клетчатую плоскость.
Ключевые слова: наглядная геометрия, методика преподавания математики, геометрические понятия, геометрические конструкции, метрика Минковского, метрика городских кварталов, целочисленная решетка
Расстояние городских кварталов — метрика, введённая Герма-ном Минковским. Расстоянием городских кварталов в n-мерном веще-ственном векторном пространстве с заданной системой координат называется сумма длин проекций отрезка между точками на оси коор-динат. Расстояние городских кварталов также известно как манхэттен-ское расстояние, метрика городского квартала, метрика такси, метрика Манхэттена (см. подробнее [1]). В геометрии, основанной на манхэт-тенском расстоянии, выполняются все аксиомы Гильберта, кроме ак-сиомы о конгруэнтных треугольниках.
Расстояние между полями шахматной доски для ладьи, если расстояние считать в клетках, равно манхэттенскому расстоянию; слон пользуется манхэттенским расстоянием на доске, повёрнутой на 45°. Все сказанное делает клетчатую плоскость, снабженную расстоянием городских кварталов, удобным объектом для демонстрации многих геометрических идей учащимся младших классов.
Ниже приведем схему изложения на занятиях кружка важных геометрических фактов. Под клетчатым многоугольником понимается связное (имеется в виду «ладейная» связность – любые клетки соеди-нены ходом хромой ладьи) односвязное объединение конечного мно-жества клеток клетчатой плоскости. Нетрудно доказать, что из клетча-того многоугольника, стороны которого проходят по линиям сетки, всегда можно удалить одну клетку так, что оставшийся многоугольник также связен.
Далее доказывается, что периметр клетчатого многоугольника площади n, стороны которого проходят по линиям сетки, не превосхо-дит 2n + 2. Выводится теорема о сумме углов: сумма внешних углов клетчатого многоугольника равна 360о.
Периметр клетчатого многоугольника площади n, стороны ко-торого проходят по линиям сетки, можно заключить в прямоугольник периметра 22n+. Имеет место формула Пика: площадь S клетчатого многоугольника можно вычислить по формуле 12PSN=+−, где N – количество узлов сетки, находящихся внутри этого многоугольника, а P – количество узлов, находящихся на его границе (т.е. его периТакже справедливо «изопериметрическое неравенство» на клет-чатой плоскости: для клетчатого n-угольника с вершинами в узлах, стороны которого проходят по линиям сетки, верно неравенство: 216PS≥, где S-площадь, P - периметр.
Полезно изучать различные геометрические места точек на плоскости с метрикой городских кварталов.метр).